Question

求对面积的曲面积分∫∫zds,其中∑为半球面x^2+y^2+z^2=R^2(y>=0)

Answer 1

第一类曲面积分是有对称性的

就你给的这题来说:

1)积分曲面为右半圆, 是关于xOy面对称的

2)被积函数=z , 是z的奇函数

由1)2)可知: ∫∫zds=0

当然,也可以按照定义算一下

不过确实没什么必要,但还是写一写吧

详细过程请见下图:

Answer 2

理解对面积的曲面积分的物理意义对于解题很有帮助。
把被积函数z看做球体表面面密度，然后再对曲面积分，即求球表面质量。
然后看题目给的条件：x^2+y^2+z^2=R^2 ，z是关于x，y的曲面函数（R是已知量）。
z^2=R^2-x^2-y^2 ，等式两边开根号得到两个z的表达式，即
上半球：z1=√（R^2-x^2-y^2)，下半球：z2= —√（R^2-x^2-y^2）。
根据z的物理意义，把z看做球表面面密度。
上班球和下半球密度的绝对值相等，但符号相反。（一个看成正密度，一个看成负密度）。
此题即求曲表面面积大小相等，面积密度互为相反的两个半球的质量之和。
可以比较直观地想象出答案，即∫∫ z dS = 0。（对称性的解释比较抽象，需要把对面积的曲面积分转换为二重积分来作解释。）
http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/lesson/10.4duqumian.htm 这里有转换过程的解释

Answer 3

回答如图  晚上拍的估计不算太清楚 将就下吧