已知关于x的方程x的平方-(2k+1)x+4(k-1/2)=0 (1)求证:这个方程总有两个实数根
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长。要详细过程。...
(2)若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边b、c恰好是这个方程的两个实数根,求△ABC的周长。
要详细过程。 展开
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证明过程如下:
证明:已知方程x²-(2k+1)x+4(k-1/2)=0
根据一元二次方程根的判别式公式:△=(-(2k+1))²-4*1*4(k-1/2)
则,△=4k²-12k+12=4(k²-3k+3)
=4(k-3/2)²+3
由于(k-3/2)²≥0,则4(k-3/2)²+3≥3>0
即判别式△>0
因此可以证明该方程一定有两个实数根。
扩展资料:
1、一元二次方程判别式
对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),则根的判别式公式为:△=b²-4ac。
(1)当△=b²-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根。
(2)当△=b²-4ac=0时,方程有两个相等的实数根。
(3)当△=b²-4ac<0时,方程没有实数根。
2、一元二次方程的求解公式
对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),当判别式△=b²-4ac≥0时,方程的求解公式为:
x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
参考资料来源:百度百科-一元二次方程
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1.
x²-(2k+1)x+4(k-1/2)=0
△=(2k+1)²-16(k-1/2)
=4k²-12k+9
=4(k²-3k+9/4)
=4(k-3/2)²≥0
∴这个方程总有两个实数根
2.
①若a是底边长,则b=c
即△=4(k-9/2)²=0,k=3/2,
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=4=a ,所以不满足 (因为b+c>a)
②若a是腰长,设令一腰为b=a=4
把一根4代入方程,得k=5/2
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=6>a,
c=2
C=a+b+c=10
x²-(2k+1)x+4(k-1/2)=0
△=(2k+1)²-16(k-1/2)
=4k²-12k+9
=4(k²-3k+9/4)
=4(k-3/2)²≥0
∴这个方程总有两个实数根
2.
①若a是底边长,则b=c
即△=4(k-9/2)²=0,k=3/2,
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=4=a ,所以不满足 (因为b+c>a)
②若a是腰长,设令一腰为b=a=4
把一根4代入方程,得k=5/2
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=6>a,
c=2
C=a+b+c=10
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1) Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)
=(2k-3)^2
≥0
所以无论k取何值,这个方程总有实数根
(3)等腰三角形ABC的边长a=4
若b=a=4或c=a=4
代入方程:16-4(2k+1)+4(k-1/2)=0
解得:k=5/2
方程为x^2-6x+8=0.
解得c=2或b=2
三角形ABC的周长=4+4+2=10
若b=c
方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0有两相等的实数根b,c
Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)=0
解得:k=3/2
方程为x^2-4x+4=0
解得b=c=2
三角形ABC的周长=4+2+2=8
=(2k-3)^2
≥0
所以无论k取何值,这个方程总有实数根
(3)等腰三角形ABC的边长a=4
若b=a=4或c=a=4
代入方程:16-4(2k+1)+4(k-1/2)=0
解得:k=5/2
方程为x^2-6x+8=0.
解得c=2或b=2
三角形ABC的周长=4+4+2=10
若b=c
方程x^2-(2k+1)x+4(k-1/2)=0有两相等的实数根b,c
Δ=[-(2k+1)]^2-4×4(k-1/2)=0
解得:k=3/2
方程为x^2-4x+4=0
解得b=c=2
三角形ABC的周长=4+2+2=8
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x²-(2k+1)x+4(k-1/2)=0
△=(2k+1)²-16(k-1/2)
=4k²-12k+9
=4(k²-3k+9/4)
=4(k-3/2)²≥0
∴这个方程总有两个实数根
①若a是底边长,则b=c
即△=4(k-9/2)²=0,k=3/2,
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=4=a ,所以不满足 (因为b+c>a)
②若a是腰长,设令一腰为b=a=4
把一根4代入方程,得k=5/2
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=6>a,
c=2
C=a+b+c=10
△=(2k+1)²-16(k-1/2)
=4k²-12k+9
=4(k²-3k+9/4)
=4(k-3/2)²≥0
∴这个方程总有两个实数根
①若a是底边长,则b=c
即△=4(k-9/2)²=0,k=3/2,
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=4=a ,所以不满足 (因为b+c>a)
②若a是腰长,设令一腰为b=a=4
把一根4代入方程,得k=5/2
根据根与系数关系(韦达定理)得
b+c=2k+1=6>a,
c=2
C=a+b+c=10
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