Question

如图所示,已知:在△ABC中,角∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线。求证：∠DAE=1/2（∠B-∠C)

如图所示,已知:在△ABC中,角∠B＞∠C，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线。求证：∠DAE=1/2（∠B-∠C)

Answer 1

证明：
∵AE是∠BAC的平分线
∴∠BAE = ∠CAE
∵AD垂直于BC
∴∠DAC + ∠C = 90度，∠DAB + ∠B = 90度 。。。。。（1）
∵∠DAC = ∠CAE + ∠DAE
∠DAB = ∠BAE - ∠DAE
代入（1）
∠CAE + ∠DAE + ∠C = 90度 .....(2)
∠BAE - ∠DAE + ∠B = 90度 .......(3)
(2) - (3)得
（∠CAE + ∠DAE+ ∠C） - （∠BAE - ∠DAE+ ∠B）=0
而 ∠BAE = ∠CAE，化简得
∠DAE=1/2（∠B-∠C) 。

Answer 2

证明：因为1、∠DAE=90°-∠DEA
2、∠DEA=∠A/2+∠C（定理：三角形的一个角的互补角等于三角形内另外2个角之和）
将2代入1式得
∠DAE=90°-∠DEA=90°-（∠A/2+∠C）
=90°-∠A/2-∠C
=（180°-∠A-2∠C)/2
=（180°-∠A-∠C-∠C）/2
=（∠B-∠C）/2

Answer 3

∠BAD＋∠DAE=90-∠B
∠CAD-∠DAE=90-∠C

第一个等式减第二个等式可得
2∠DAE＝∠C－∠B
可得结果：∠DAE=1/2（∠C-∠B)