Question

已知数列{an}中,a1=1,a(n+1)=2an/an+2

1,数列{1/a}是等差数列，并求数列{an}的通项公式
2，若bn=an a(n+1), T为数列{bn}的前n项和，求证;Tn＜2

Answer 1

①.a1=1,
a(n+1)=2an/(an+2),取倒数得：1/ a(n+1)= (an+2)/ (2an).
即1/ a(n+1)=1/an+1/2,
所以{1/an}是首项为1，公差为1/2的等差数列，
1/an=1+(n-1)•1/2,
an=2/(n+1).
②. bn=an •a(n+1)=4/[(n+1)(n+2)]=4/(n+1)-4/(n+2),
Tn=b1+b2+……+bn=4[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+ ……+(1/(n+1)-1/(n+2))]
=4[1/2-1/(n+2)]=2-4/(n+2)< 2.