Question

(1/2)*(3/4)*……*((2n-1)/(2n)) 在n趋于无穷时的极限

我知道应该用两边夹定理，在>=那边应该是（1/2)^n，但是在<=那边应该是什么呢，要说明是怎么想的，求求各位大虾帮帮忙，说的好我会追加悬赏分的

Answer 1

令y=(1/2)...((2n-1)/2n)
=y=(1-1/2)...(1-1/2n)

两边取对数有

lny = ln(1-1/2)+...+ln(1-1/2n)

利用 不等式 ln(1+x)<=x

有lny <= -1/2+ ... +(-1/2n)
=-1/2 * (1+....1/n)

所以 y <= e^-1/2(1+...+1/n)

注意括号内的是调合级数，是趋于正无穷的
所以指数趋于-∞
所以右边那个极限是是0
y大于等于0是显然的

所以夹逼有 结果为0

Answer 2

令y=(1/2)...((2n-1)/2n)
=y=(1-1/2)...(1-1/2n)
两边取对数有
lny
=
ln(1-1/2)+...+ln(1-1/2n)
利用
不等式
ln(1+x)<=x
有lny
<=
-1/2+
...
+(-1/2n)
=-1/2
*
(1+....1/n)
所以
y
<=
e^-1/2(1+...+1/n)
注意括号内的是调合级数，是趋于正无穷的
所以指数趋于-∞
所以右边那个极限是是0
y大于等于0是显然的
所以夹逼有
结果为0