Question

求x→0时lim[1/x-1/(e^x-1)]的极限

要详细过程，谢谢

Answer 1

x→0,lim[1/x-1/(e^x-1)]=lim[(e^x-1-x)/x(e^x-1)]
这个0/0型的，运用罗比达可以得到结果，但是我运用的是等价无穷小和泰勒展开来解题的，过程如下：
e^x=1+x+x^2/2+……+x^n/n！ n->oo
对于本题，展开到二阶即可，因为分母e^x-1~x,在x->0的时候。
所以，极限为：x→0时lim[1/x-1/(e^x-1)]=lim[x^2/2+o(x^2)]/x^2=1/2+0=1/2