Question

为什么数列极限只能有一个，这样不行吗？

我做题比较喜欢画图，感觉画不出图就不可信。但是大学里一些证明题，很多都画不出来？逻辑的证明总感觉不理解，怎么能克服？

Answer 1

这种情况，不是叫做两个极限，而是叫做没有极限。
你的例子其实就是类似于奇数项的极限是a，偶数项的极限是b，不妨设a＞b（设a＜b也行，反正两个不相等），你感觉这就是两个极限的证明。
但是根据极限的定义，如果一个数列an有极限k，那么对于任意正数l，总能找到一个正整数N，当n＞N的时候，总有|an-k|＜l成立。这才是an的极限是k
那么根据这个定义，对于a来说，如果我们取的正数是（a-b）/2，那么无论你取多大的正整数N，当n＞N的时候，其偶数项趋近于b，所以偶数项和a的差|a（2n）-a|＜（a-b）/2不可能恒成立，a不是这个数列的极限。
同理，对于b来说，如果我们取的正数是（a-b）/2，那么无论你取多大的正整数N，当n＞N的时候，其奇数项趋近于a，所以解析式和b的差|a（2n+1）-b|＜（a-b）/2不可能恒成立，b不是这个数列的极限。
所以这样的数列其实是没有极限，而不是两个极限。
这就为什么极限是唯一的缘故。
即使从图上看，数列也既不是趋近于a（偶数项不趋近于a），也不是趋近于b（奇数项不趋近于b），所以没有极限。