Question

已知a，b，c是不全相等的正实数，求证：a²/b+b²/c+c²/a＞a+b+c

希望快点、急~~~~~~~~~~~~··

Answer 1

证明：由题设及柯西不等式，可得：(b+c+a)[(a²/b)+(b²/c)+(c²/a)]≥(a+b+c)².等号仅当a=b=c＞0时取得。∵a,b,c是不全相等的正实数，∴(b+c+a)[(a²/b)+(b²/c)+(c²/a)]＞(a+b+c)².∴(a²/b)+(b²/c)+(c²/a)＞a+b+c.

Answer 2

证明: 要证a²/b+b²/c+c²/a＞a+b+c，只要证明
a(a/b-1)+b(b/c-1)+c(c/a-1)>0
假设a>b>c 所以a(a/b-1)+b(b/c-1)+c(c/a-1)>3c(a/b+b/c+c/a-3)
因为a>b>c>0 所以a/b+b/c+c/a>3√(a/b*b/c*c/a) =3
所以a/b+b/c+c/a-3>0
故有a(a/b-1)+b(b/c-1)+c(c/a-1)>0
命题即得到证明

证此题要适当应用放缩法。

Answer 3

a(a-b)/b+b(b-c)/c+c(c-a)/a
=a(a-b)/b+b(b-c)/c+c(c-b+b-a)/a
=a(a-b)/b+b(b-c)/c-c(a-b)/a-c(b-c)/a
=(a/b-c/a)(a-b)+(b/c-c/a)(b-c)
假设a>b>c
a/b-c/a>0
b/c-c/a>0
a(a-b)/b+b(b-c)/c+c(c-a)/a>0
得证