已知a,b,c是不全相等的正实数,求证:a²/b+b²/c+c²/a>a+b+c

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zqs626290
2010-11-03 · TA获得超过3.1万个赞
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证明:由题设及柯西不等式,可得:(b+c+a)[(a²/b)+(b²/c)+(c²/a)]≥(a+b+c)².等号仅当a=b=c>0时取得。∵a,b,c是不全相等的正实数,∴(b+c+a)[(a²/b)+(b²/c)+(c²/a)]>(a+b+c)².∴(a²/b)+(b²/c)+(c²/a)>a+b+c.
kurale1989
2010-11-03 · TA获得超过566个赞
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证明: 要证a²/b+b²/c+c²/a>a+b+c,只要证明
a(a/b-1)+b(b/c-1)+c(c/a-1)>0
假设a>b>c 所以a(a/b-1)+b(b/c-1)+c(c/a-1)>3c(a/b+b/c+c/a-3)
因为a>b>c>0 所以a/b+b/c+c/a>3√(a/b*b/c*c/a) =3
所以a/b+b/c+c/a-3>0
故有a(a/b-1)+b(b/c-1)+c(c/a-1)>0
命题即得到证明

证此题要适当应用放缩法。
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hicrasher
2010-11-02 · TA获得超过912个赞
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a(a-b)/b+b(b-c)/c+c(c-a)/a
=a(a-b)/b+b(b-c)/c+c(c-b+b-a)/a
=a(a-b)/b+b(b-c)/c-c(a-b)/a-c(b-c)/a
=(a/b-c/a)(a-b)+(b/c-c/a)(b-c)
假设a>b>c
a/b-c/a>0
b/c-c/a>0
a(a-b)/b+b(b-c)/c+c(c-a)/a>0
得证
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