Question

已知椭圆X²/2+Y²=1。(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;(2)过A(2,1)

Answer 1

(1)设平行弦方程为y=2x+k，与椭圆x^2/2+y^2=1的焦点为（x1，y1），（x2，y2）
则弦中点坐标x=（x1+x2）/2,y=(y1+y2)/2，联立平行弦方程与椭圆方程得
9x^2+8kx+（2k^2-2）=0,由根与系数关系得x1+x2=-8k/9,y1+y2=2(x1+x2)+2k
消去k得y=(-1/4)x.
答案补充
(2)设割线方程为y=a(x-2)+1,与椭圆联立得
(1+2a^2)x^2+4a(1-2a)x+(8a^2-8a)=0
同理 x=2a(2a-1)/(1+2a^2)……1’,y=a(x-2)+1=(1-2a)/(1+2a^2)……2’
当a=1/2时，y=0,x=0……3’;
当a!=1/2时 ,1'/2'得 a=-x/(2y),代入2'得
2（y-1/2）^2+(x-1)^2=3/2……4',3'满足4'，所以中点方程为2（y-1/2）^2+(x-1)^2=3/2。
答案补充
此类问题采用消参的方法求解。基本思路是：设定弦或割线等的方程，与其它曲线方程联立得x的二次方程，据根与系数关系得要求点的横坐标x，要求点在某直线上，将x代入求y，此时x，y均为参数所表示，消参既得x，y的关系式。参照以上方法，自己解解第三问。