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求一到高数题：用泰勒公式计算根号5的近似值，并估计误差

求一到高数题：用泰勒公式计算根号5的近似值，并估计误差能手写一下过程吗？如果能再讲解一下用泰勒公式求近似值的具体的套路和步骤就更好了

Answer 1

取x0=0，然后泰勒展开，来个5项 ，然后取x=5代入算呗，取得越多误差越小。

^设f(x)=√x  ;

由泰勒公式 ，在x=4处展开，

f(x)=f(4) +f'(4)(x-4) + f''(4)(x-4)^2 /2 +....

f(5)=f(4) +f'(4)(5-4) + f'(4)(5-4)^2 /2 +....

即f(5)=f(4) +f'(4) + f''(4)/2 + f'''(4)/6  + f''''(4)/24 + ...

f'(4)=1/4 ,   f''(4)=-1/32  , f'''(4)=  ,   f'''(4)=   ......  (这里分别计算导数就行)

则f(5)=2 +  1/4  - 1/64  + ......=2.2361

即f(5)=√5=2.2361

泰勒公式的余项

泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）。

Answer 2

设f(x)=√(x+4)做级数展开(见图片)

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