Question

试用函数单调性证明:x>0时,4十x分之x<ln(|十x)<x

Answer 1

证：
令f(x)=x/(4+x) -ln(1+x)，(x≥0)
f'(x)=4/(4+x)² - 1/(1+x)
=[4(x+1)-(x+4)²]/[(x+4)²(x+1)]
=-x²/[(x+4)²(x+1)]
x≥0，x²≥0，x+4>0，(x+4)²>0，x+1>0
-x²/[(x+4)²(x+1)]≤0
f'(x)≤0，函数在[0，+∞)上单调递减
令x=0，得f(0)=0/(4+0) -ln(1+0)=0-0=0
x>0时，f(x)<0
x/(4+x)<ln(1+x)
令g(x)=ln(1+x) -x，(x≥0)
g'(x)=1/(1+x) -1=-x/(1+x)
x≥0，1+x≥1>0，-x/(1+x)≤0
g'(x)≤0，函数在[0，+∞)上单调递减
令x=0，得g(0)=ln(1+0) -0=0-0=0
x>0时，g(x)<0
ln(1+x)<x
综上，得：x/(4+x)<ln(1+x)<x