设方阵A满足A²-3A+2E=0,求A+E的逆矩阵(用A,E表示)
2个回答
2016-12-09
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这种题目其实就是凑系数
根据A²-3A+2E=0化成A²-3A+mE=nE(m,n是常数)的形式
然后希望A²-3A+mE能分解成(A+E)(A+kE)(k是常数)的形式
所以就是(A+E)(A+kE)=A²-3A+mE
而(A+E)(A+kE)=A²+(1+k)A+kE=A²-3A+mE
所以1+k=-3,k=m
即k=-4,m=-4
所以把A²-3A+2E=0转化为A²-3A-4E=-6E的形式
而A²-3A+4E=(A+E)(A-4E)=-6E
即(A+E)*[(A-4E)/(-6)]=E
所以根据逆矩阵的定义
(A+E)的逆矩阵就是(A-4E)/(-6)=(4E-A)/6
根据A²-3A+2E=0化成A²-3A+mE=nE(m,n是常数)的形式
然后希望A²-3A+mE能分解成(A+E)(A+kE)(k是常数)的形式
所以就是(A+E)(A+kE)=A²-3A+mE
而(A+E)(A+kE)=A²+(1+k)A+kE=A²-3A+mE
所以1+k=-3,k=m
即k=-4,m=-4
所以把A²-3A+2E=0转化为A²-3A-4E=-6E的形式
而A²-3A+4E=(A+E)(A-4E)=-6E
即(A+E)*[(A-4E)/(-6)]=E
所以根据逆矩阵的定义
(A+E)的逆矩阵就是(A-4E)/(-6)=(4E-A)/6
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