Question

数学.函数题.

已知函数 y=x+1分之x^2-a(a+2)x,(a大于等于0)，求当a为1时y在(3, y(3))处的切线方程,求函数在[0，2]上的最小值

Answer 1

解
(1)当a=1时，函数y=(x^2-3x)/(x+1),
当x=3时，y=0,设过(3, 0）点的切线方程为y=k（x-3）
又y'=[(2x-3)(1+x)-(x^2-3x)]/(1+x)^2
y'=(x^2+2x-3)/(1+x)^2
当x=3时，k=y'=3/4
∴当a为1时y在(3, y(3))处的切线方程为:y=3x/4-9/4

(2)
由y'=(x^2+2x-3)/(1+x)^2得
当y'=0时，x=-3,或1
x<-3或x>1时，y'>0,函数y为单增，-3<x<1,y'<0,函数y为单减
所以x在[0，2]上函数单减
x=2时，y有最小值=-2/3

Answer 2

解：
当a=1时，函数y=(x^2-3x)/(x+1),
当x=3时，y=0,设过(3, 0）点的切线方程为y=kx+b,则有b=-3k
将y=kx+b代入y=(x^2-3x)/(x+1),得：
(kx+b)（x+1）=(x^2-3x)，化简得：
(k-1)x^2+(3-2k)x-3k=0，因为相切，则此方程只有一个解，即有：
(3-2k)^2 +12k（k-1）=0,所以
16k^2-24k+9=0,所以
k=3/4
因此，切线方程为y=(3/4)x-9/4