Question

二次递推数列的通项公式

二次递推数列的通项公式如图，希望高手给出详细解答。

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Answer 1

非常重要的二次递推数列求法
形如an+1=Aan2+Ban+C(A≠0, an≠an+1)的递推数列，难度很大。
让人大跌眼镜的是某几个省高考居然考了，所以发上来解法，只针对基础很好的同学。其通解要讨论N多种情况，有点混沌的味道。
恕我水平有限，现阶段只想出这些特殊情况。
an+1=Aan2+Ban+C(A≠0,an≠an+1)
基本思路通过线性变换（线性变换是最基本的形式简化方式）xn=an+B/(2A)，即化为完全平方将形式简化为
xn+1=Axn2+[(4AC-B2+2B)/(4A)]
即简化形式xn+1=Pxn2+Q(P≠0)
下面只讨论这个形式，暂时只研究P>0的情况。
1、Q>0，这个非常难，不幸这个递推数列方程没有解析解（即无法通过初等函数来表达，要用无穷级数来表达，用级数表达难度很大，而其本身失去了简化运算的意义。）
2、Q=0，这个形式最简单。
两边取对数
∴lnxn+1=lnP+2lnxn(xn>0)
lnxn+1+ lnP =ln(Pxn+1)=2ln(Pxn)
注意：若x1<0，要从x2开始，x2肯定大于0。
{ ln(Pxn)}就是等比数列
∴ln(Pxn)=2n-2ln(Px2)
xn=(Px2)^2n-2/P(n>1)
xn=x1(n=1)
△3§Q<0，为了方便讨论及记忆
先指定其形式为xn+1=Pxn2-Q(P≠0, Q>0)
这种比较难，对于高中生来说能想到线性变换化简都不错了，更后面的变换更难想到。这种题高考是考过的，竞赛更不用说了。
(1)两边同时除以Q/2
变换为2xn+1/Q=PQ /2(2xn/Q)2-2 (P≠0,Q>0)
于是形式上变成了
rn+1=krn2-2(k>0)，对于这个递推形式，容易证明从某项起，这个数列是递增数列，这儿不再详细证明。
代换方法是令rn=bn+1/bn，bn+1=bn2（即bn=b1^2n-1）
注意：rn,bn >0，若rn≤0，则要从使得rn>0的第m项rm开始，通过rm=bm+1/bm，算出bm，bn=bm^2n-m。数学需要严谨。
前面的项是摆动的，无法直接求。
这个是最简形式了，这个形式是有解的，可以想想为什么要化为-2。
下面以一个例子来说明解这种最简形式的具体求解思路。
例：an+1=an2-2，a1=-51/2。求an。
令an=bn+1/bn。
bn+1+1/bn+1+2=(bn+1/bn)2
注意右边可化为(bn+11/2+1/bn+11/2)2=(bn+1/bn)2
bn+11/2+1/bn+11/2=bn+1/bn
注意这里我们只要满足上面那个等式就行了，具体bn有多少种解我们不关心，所以最简单，只要bn+11/2=bn就行了。
显然lnbn+1=2lnbn，{lnbn}是等比数列，注意bn>0，需要an>0来保证，但第二项大于0，所以从第二项起。
lnbn=2n-2lnb2
a2=3=b2+1/b2，取一个根即可b2=(3+51/2)/2
bn=[(3+51/2)/2]^2n-2
an=bn+1/bn=[(3+51/2)/2]^2n-2+[(3-51/2)/2]^2n-2(n≥2)
an=-51/2(n=1)
P<0的情况，只需令yn=-xn
就可化为yn=-Pyn2-Q(P<0)，即转化成为
xn+1=Pxn2+Q(P>0)的形式
△综上所述：
an+1=Aan2+Ban+C(A≠0, an≠an+1)的递推数列
都可以通过线性变换将形式化简成xn+1=Pxn2+Q(P >0)的形式
若Q<0，则可以进一步化简为xn+1=kxn2-2(k>0)这样的形式，若m项起xn>0，则通过xn=bn+1/bn，bn=bm^2n-m来求n≥m部分的通项公式（n<m的部分由于数列摆动难以求解）。若是特殊形式，还可以进行降次处理。
但是，这只是在实数范围内的解法。如果扩展到复数范围，则完全可以不考虑an的正负，可以让Xn是复数。这样通项公式里就含有了i，但是求出的各项值却都是实数。原因是Xn的幂是2^n-1，含i的项都会有平方。这样完全不影响结果。而且还使通项公式n的取值范围增大

Answer 2

数学归纳法会吗？

追问

那你也得猜出通项呀