Question

已知圆c经过点a(1,1)和b(2,-2),且圆心c直线l:3x-4y+1=0上 (1):求圆C的标准方程 (2

已知圆c经过点a(1,1)和b(2,-2),且圆心c直线l:3x-4y+1=0上
(1):求圆C的标准方程
(2):若直线m垂直于直线l且与圆C相切，求直线m的方程

Answer 1

（1）圆C经过点A(1,1)和B(2,-2)，则其中点M（3/2,-1/2），因为圆心C在直线3x-4y+1=0上，所以可设圆心坐标C（x,(3x+1)/4），显然CM与AB垂直，向量MC=（x-3/2,(3x+3)/4），向量AB=（1,-3），两向量内积为零，即：（x-3/2）-（9x+9）/4=0，解之得 x=-3
所以圆心 C（-3，-2），圆半径为R，则 R²=|AC|²=（-3-1）²+（-2-1）²=25
圆C标准方程：（x+3）²+（y+2）²=25
（2）直线m垂直于直线l:3x-4y+1=0，不妨设直线m：4x+3y+k=0，直线m与圆C相切，则圆心到直线m距离等于圆半径R，有：R²=25=|4×(-3)+3×(-2)+k|²/(4²+3²)=(k-18)²/25
k=18±25， k₁=-7，k₂=43，直线m方程：4x+3y-7=0 或 4x+3y+43=0

Answer 2

解：
ab中点q坐标为：
（（1+2）/2，
(1-2)/2）
即（3/2，-1/2）
设直线ab方程为：y=kx+b
二点代入得：1=k+b，-2=2k+b
解得k=-3，b=4
即ab方程为：y=-3x+4
再设ab中垂线方程为：y=(1/3)x+h
ab中点坐标代入得：-1/2=（1/3）*（3/2）+h，得h=-1
所以ab中垂线方程为：y=(1/3)x-1
联立直线l方程：3x-4y+1=0
解得x=-3
，y=-2
即圆心坐标为(-3，-2）
半径r^2=（-3-1）^2+(-2-1)^2=25
所以圆c方程为：(x+3)^2
+(y+2)^2=25