Question

设命题P函数f(x)=lg(ax^2-x+a/16)的定义域为R 命题q不等式3^x-9^x<a对一切正实数x

设命题P函数f(x)=lg(ax^2-x+a/16)的定义域为R 命题q不等式3^x-9^x<a对一切正实数x成立，如果p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的范围。

Answer 1

对于函数的性质应从以下几个方面来考虑：
（1）定义域，值域
（2）单调性
（3）奇偶性
（4）最值
（5）具体函数的特殊性质
函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
1． 函数的一些概念：
函数、自变量、应变量、定义域、值域
注：ⅰ对应的y是唯一的
ⅱ函数三大要素：定义域、对应法则、值域
ⅲ函数相同即定义域、对应法则相同
ⅳ换元后定义域要相应改变
ⅴ实际问题中函数的定义域要根据实际情况决定
2．函数间运算：和函数、积函数
注：定义域取两函数各自定义域的交集
3．函数表示方法：解析法（待定系数）、图像法（数形结合）、列表法
4．函数的奇偶性：定义域内任意实数x
注：ⅰ定义域关于原点对称是函数为奇、偶函数的必要条件
ⅱ偶函数没有反函数
ⅲ定义在R或[-a,a]、[-a,a]上的奇函数必过原点，即f(0)=0
ⅳ偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点中心对称
ⅴ奇+奇=奇 偶+偶=偶 偶+奇=不定
奇*奇=偶 偶*偶=偶 偶*奇=奇
5．函数的单调性：给定区间的任意两个值x1、x2
注：ⅰ利用定义证明函数单调性
ⅱ增+增=增 增*增=增 减+减=减 减*减=减
6．函数的周期性：T≠0
注：一个周期函数不一定有最小正周期，例如：f（x）=0
7．函数的最值：定义域内任意实数x
注：求函数最值的一般步骤
①求函数边界点
②求函数极值点
③若极值点在边界点内，极值点就是最值
④若极值点取不到，边界点就是最值（最大、最小要用单调性判断）
8．反函数：
注：ⅰ反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域（利用反函数求值域）
ⅱ原函数的增减与反函数相同
ⅲ原函数与反函数关于y＝x对称
ⅳ证明f(x)关于y＝x对称，即证f(x)的反函数f－1(x)是原函数f(x)，反之亦然
9．函数的零点：
f(x)（x∈D），存在c（c∈D），当x＝c时，f(c)＝0，则x＝c是函数的零点
10．掌握一次函数性质及图像
11．掌握二次函数性质及图像
注：ⅰ二次项系数不为零
ⅱ三种解析形式： 一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c∈R）
顶点式：y＝a（x－m）2＋k（a≠0，（m，k）是顶点）
零点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0，x1、x2是图像在
x轴上两焦点）
12．掌握幂函数性质及图像：y＝xα（α是常数，x∈R）
注：y＝x^(q／p)各个图像你自己画一画吧
①q／p＞0
p、q均是奇数 （q／p＞1、 q／p＜1）
p偶，q奇（q／p＞1 、q／p＜1）
p奇，q偶（q／p＞1、 q／p＜1）
②q／p＜0
p、q均是奇数
p偶，q奇
p奇，q偶
③q／p＝0
13．掌握指数函数的性质和图像：y=ax (x∈R, a0,a≠1)
14. 掌握对数函数的性质和图像：y=㏒ax (x0, a0,a≠1)
15．解参数方程（分类讨论）
16．函数与其他知识的综合运用

Answer 2

f(x)=lg(ax^2-x+a/16)的定义域为R，则：
ax^2-x+a/16=0无实数解，且a>0
如此有：1-4*a*a/16<0 得a>2

3^x-9^x<a对一切正实数x成立：
3^x-9^x在正实数域上递减，所以只需要a>=3^0-9^0=0

p或q为真命题，p且q为假命题，则p和q必一真一假
若p真q假，则a>2和a<0取交集，为空
若p假q真，则a<=2和a>=0取交集，得0=<a<=2

顺便说下，楼上解错了。

Answer 3

P:
要使函数f(x)=lg(ax^2-x+a/16)的定义域为R,
需使ax^2-x+a/16大于0恒成立,
即y=ax^2-x+a/16对应图象与横轴无交点.
有:(-1)^2-4a*a/16<0,且a>0
易解得a>2,

Q:
a>3^x-9^x=-(3^x)^2+3^x
令t=3^x,又x>0,故t>1
3^x-9^x=-t^2+t=-(t-1/2)^2+1/4
当t=1时，取得最大值是0
即3^x-9^x<0
所以要得恒成立，有：a>=0.

如果p或q为真命题，p且q为假命题，说明P和q为一真一假．
（1）如P真，Q假．
那么有a>2,a<0
取交集得空集。
(2)如P假，Q真．
那么有a<=2,a>=0
故有：0=<a<=2
综上所述，范围是0=<a<=2.

Answer 4

p：
ax^2-x+1/16a＞0
讨论a的取值
1.a=0
则-x＞0，x＜0，不满足定义域为R，舍去

2.a＞0
∵定义域为R
∴△＜0
∴a^2＞4
∴a＞2或a＜-2
∴a＞2

3.a＜0
∵开口向下，不可能使定义域为R
∴舍去

∴a＞2

q：
两边平方可以变成
a^2*x^2+(2a-2)x＞0
讨论a^2
1.a^2=0，即a=0
则x＜0，不满足条件，舍去

2.a^2＞0
则a^2*x^2+(2a-2)x＞0在x＞0恒成立
讨论对称轴x=-（2a-2）/2a^2
1.对称轴＜0即a＞1
f(0)＞0 则恒成立
2.对称轴≥0即a≤1
△≤0 则a≥1/2

∴a≥1/2

∵命题p或q为真命题，命题p且q为假命题
∴p真q假或p假q真
1.p真q假
无解
2.p假q真
1/2≤a≤2

综上，1/2≤a≤2

Answer 5

f(x)=lg(ax^2-x+a/16)的定义域为R，则：
ax^2-x+a/16=0无实数解，且a>0
如此有：1-4*a*a/16<0 得a>2

3^x-9^x<a对一切正实数x成立：
3^x-9^x在正实数域上递减，所以只需要a>=3^0-9^0=0

p或q为真命题，p且q为假命题，则p和q必一真一假
若p真q假，则a>2和a<0取交集，为空
若p假q真，则a<=2和a>=0取交集，得0=<a<=2