Question

已知a是非零常数,函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x,x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最

已知a是非零常数，函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x，x∈R 求函数在[0,π/2]上的最大值、最小值

Answer 1

f(x)=a(cosx)^2+sin2x
=(a/2)cos2x+sin2x+a/2
=sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4)+ a/2
(其中，sinA=a/√(4+a^2))
当a>0时，A∈(0,π/2),
∵x∈[0,π/2]，则A≤2x+A≤π+A =>sinA≤sin(2x+A) ≤1
=> a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
当a<0时，A∈(-π/2, 0),
∵x∈[0,π/2]，则A≤2x+A≤π+A =>sinA≤sin(2x+A) ≤1
=>a/√(4+a^2) ≤sin(2x+A) ≤1
=> a/2≤sin(2x+A)*√(1+(a^2)/4) ≤√(1+(a^2)/4)
=> a≤f(x) ≤√(1+(a^2)/4)+ a/2
综上所述，函数f(x)=a(cosx)^2+sin2x在[0,π/2]上的
最大值为√(1+(a^2)/4)+ a/2=(a+√(4+a^2))/2,
最小值为a。

Answer 2

解
f(x)=a(1+cos2x)/2+sin2x
=a/2+a/2*cos2x+sin2x
=a/2+根号（1+a^2/4)sin(2x+t)
因为-1<=sin(2x+t)<=1
所以，当a<0时，函数有最小值=a/2-根号（4+a^2）/2
当a>0时，函数有最大值=a/2+根号（4+a^2）/2