Question

这道题求收敛半径和收敛域怎么求啊！

Answer 1

设Un=(3^n +5^n)x^n/n
Un+1=[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1)
比值法
lim n→∞ |Un+1/Un|
=lim n→∞ |[3^(n+1) + 5^(n+1)]x^(n+1)/(n+1)/(3^n +5^n)x^n/n|
=lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]n/[(n+1)(3^n +5^n)]
=lim n→∞ |x|[3^(n+1) + 5^(n+1)]/[(3^n +5^n)]
分子分母同除5^n
=lim n→∞ |x| [3(3/5)^n+5]/[(3/5)^n +1]
=5|x|＜1
得收敛半径R=1/5
收敛区间为(-1/5，1/5)
当x=1/5时，Un=[(3/5)^n +1]/n＞1/n
根据比较审敛法可知，由于1/n发散，所以Un也发散。
当x=-1/5时，Un=[(3/5)^n +1](-1)^n/n=(-3/5)^n/n +(-1)^n/n
对于An=|(-3/5)^n/n|
用根值法可知lim n→∞ (An)^(1/n)=3/5＜1
所以An绝对收敛。
对于Bn=(-1)^n/n
用莱布尼茨判别法可知条件收敛。
综上此时Un收敛。
故收敛域为[-1/5，1/5)