Question

定义域在R上的函数f(x+y)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (x,y属于R) 已知f(1)=2 求f(-3)

定义域在R上的函数f(x+y)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (x,y属于R) 已知f(1)=2 求f(-3)

Answer 1

f(2)=2f(1)+2=4
f(4)=2f(2)+8=16
f(1)=f(4+(-3))=f(4)+f(-3)-24
2=f(-3)-8
f(-3)=10

Answer 2

∵f（x＋y）=f（x）＋f（y）＋2xy f（1）＝2
∴ f（0＋1）＝f（0）＋f（1）＋2×0×1
f（1）=f（0）＋f（1）
f（0）=0
∴f[1+（-1）]=f（1）＋f（-1）-2=0
f（-1）=0
∴f[（-1)+(-1)]＝f（-1）+f（-1)＋2=2
∴f(-3)＝f[(-2)+(-1)]=f(-2)+f(-1)+4=6

Answer 3

6 ∵f（x＋y）=f（x）＋f（y）＋2xy
∴ f（0＋0）＝f（0）＋f（0）＋2×0×0
f（0）=0
∴f(1-1）=f（1）＋f（-1）-2=0
f（-1）=0
∴f（-1-1)＝f（-1）+f（-1)＋2=2
∴f(-3)＝f(-1-2)=f（-1）+f（-2)＋4=6

Answer 4

解：令x=1,y=0,代入已知条件得
f(1+0)=f(1)+f(0)+2*1*0,即 f(0)=0,
令y=-x，代入已知条件得
f(x-x)=f(x)+f(-x)+2*x*(-x),整理得
f(-x)=2x^2-f(x) (1)
令x=1,y=1代入已知条件得
f(1+1)=f(1)+f(1)+2*1*1=2+2+2=6,即f(2)=6,
令x=2,y=1代入已知条件得
f(2+1)=f(2)+f(1)+2*2*1=12，即f(3)=12
所以，令x=3代入等式（1）中得
f(-3)=2*3^2-f(3)=18-12=6