Question

高数 微积分 导数

已知f(x)在R上二阶可导，f(x)的绝对值小于或等于1，f(x)的二阶导数的绝对值也小于或等于1，证明f(x)的导数的绝对值小于或等于2

Answer 1

rt

Answer 2

在x点用Taylor公式,任意h>0：
f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f''(x)h^2
f(x-h)=f(x)-f'(x)h+f''(x)h^2
两式相减：f'(x)=(f(x+h)-f(x-h))/2h-f''(x)h
则|f'(x)|<=|(f(x+h)-f(x-h)|/2h+|f''(x)|*h<=1/h+h.
取h=1即可。