Question

求过程，答案是左上角，定积分，谢谢大神

Answer 1

=1/（csc²x十sin²x）dx
sin²x=（1-cos2x）/2
代入
=1/[2/（1-cos2x）十 （1-cos2x）/2 ]dx
设t=tanx，x=arctant，dx=dt/（1十t²）
cos2x=cos²x-sin²x
=（ cos²x-sin²x ）/（ cos²x十sin²x ）
=（1-tan²x）/（1十tan²x）
=（1-t²）/（1十t²）

追答

=1/[2/（1-（1-t²）/（1十t²））十（1-（1-t²）/（1十t²））/2]×1/（1十t²）×dt
= 1/[2 （1十t²） /（ （1十t²） -（1-t²））十（ （1十t²） -（1-t²））/2 （1十t²） ]×1/（1十t²）×dt
= 1/[（1十t²） /t²十t²/（1十t²） ]×1/（1十t²）×dt
= t²（1十t²）/[（1十t²）² 十t^4 ]×1/（1十t²）×dt
= t²/[（1十t²）² 十t^4 ]dt
= t²/[1十2t²十2t^4]dt
=t²/2[1/4十1/4十t²十t^4]dt
= 2t²/[1十（2t²十1）²]dt

Answer 2

∫1-1/(1+sin²x)dx
设tanx=t,dx=dt/(1+t²)代入
=x-∫dt/(1+2t²)
=x-(1/√2)arctan√2t+C
=x-(1/√2)arctan(√2tant)+C
带入积分区间
=π/2-π/√2
=π/2(1-/√2)