Question

求解留数定理计算积分

求解留数定理计算积分求解过程

Answer 1

解：①题，设f(z)=1/[(z-i)z³]，则f(z)有一个三阶极点z1=0、一个一阶极点z2=i。显然z1、z2均在丨z丨=2的域内，
∴由柯西积分定理，有，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=(1/2!)lim(z→z1)[(z-z1)³f(z)]''=1/(z-i)³丨(z=0)=-i、Res[f(z),z2]=lim(z→z2)[(z-z2)f(z)]=1/z³丨(z=i)=i，∴原式=0。
②题，设f(z)=ze^z/(z²-1)，则f(z)有两个一阶极点z1=1、z2=-1。显然z1、z2均在丨z丨=2的域内，
∴由柯西积分定理，有，原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)[(z-z1)f(z)]=ze^z/(z+1)丨(z=1)=e/2、Res[f(z),z2]=lim(z→z1)[(z-z2)f(z)]=ze^z/(z-1)丨(z=-1)=1/(2e)，
∴原式=(e+1/e)πi。
供参考。