Question

如何证明三角形重心的几个定理？

1.如何证明重心O到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1

2.中线为什么不一定相等

3. 如何证明EF垂直于AD

Answer 1

证明：
在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b
向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b
则1-x= y/2， x/2=1-y，
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD
即BO：OF=CO：OD=2。
∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b
从而向量AO=2/3向量AE
即向量AO与向量AE共线，所以A、O、E三点共线
且有AO：OE=2。
因此，三角形ABC的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心。
扩展资料：
三角形重心定理的性质：
1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5，三角形重心是三角形三条中线的交点,当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。