Question

如何证明“三角形的重心到三个顶点的距离平方和最小”这个定理?

Answer 1

是均质的吧，
第一步求最值点一个定点为（0，0），另两个为（x1,y1）;(x2.y2)
f＝x^2+y^2+(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2
对x，y分别求偏导谈兄
df/dx=0,df/dy=0,
为极值点
求当df/dx=2x+2(x-x1)+2(x-x2)=0
x=(x1+x2)/3
同理雀搏y＝（y1+y2）/3
第二步求重心坐标
x=(∫∫xρdxdy)/(∫∫ρdxdy)
y=(∫∫xρdxdy)/(∫∫ρdxdy)
积分区域为此三角
结果与上一步一样！
故可得到顷侍祥已知

Answer 2

(用解析几何的方法证)
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 显然当亩闭x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小巧耐旦值为 x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 证毕

引用:http://zhidao.baidu.com/question/3710372.html?fr=qrl

三角形五心孝扰定律 http://baike.baidu.com/view/1611086.htm

Answer 3

建立直角坐标可证的