Question

如何求证： 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等

Answer 1

证明的方法如下：
设△ABC的重心为E,则AD为中线,
∴S△ABD=S△ACD（等底等高）
同理S△EBD=S△ECD
二式相减得  S△ABE=S△ACE
同理可得S△ABE=S△BCE
∴结论成立.

Answer 2

2〉性质：

[性质1] 锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

[性质2] 三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。

[性质3] 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。

[性质4] △ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，。

[性质5]O、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为--垂心组)。

[性质6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

[性质7] 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

[性质8]设O、 H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.

[性质9] 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍，即 AH+BH+CH = 2（r+R）。

[性质10] 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

[性质11] 设H为非直角三角形的垂心，且D、E、F分别为H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则△DEF≌△H1 H2H3.

[性质12] 三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。

2.内心

〈1〉定义：是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心。

即AE、BF、CD分别平分角BAC、角ABC、角BCA，且AE、BF与CD相交于点O，点O即为△ABC的内心。

〈2〉性质：

[性质1] 三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.

[性质2] ∠ BOC=90°+∠BAC/2。

[性质3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BDxCD

3.重心：

〈1〉重心的定义：重心是三角形三条中线的交点。

〈2〉重心的性质：

[性质1] 三角形的重心到边的中心与到这条边所对的顶点的距离之比为1:2，即OD：OA = 1：2 ；

OE：OC = 1：2 ；

OF：OB = 1：2 。

[性质2] 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

Answer 3

证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知Oh1=1/3Ah
则，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)
所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

Answer 4

三角形重心到某一边的距离为该边的高的1/3，所以三角形重心与该边上的两个三角形顶点连接构成的三角形面积是三角形面积的1/3.
所以命题得证。

Answer 5

重心是三角形三条中线的交点，到顶点的距离为到对边中点的2
倍，它也是三条中线的三等分点。