Question

请教一下，高数问题，有关级数和导数，拜托详细解答，谢谢。

高等数学三道题目，都不太会做

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Answer 1

九、因为lim(x->0)f(x)/x=0
所以f(x)是x的高阶无穷小，即lim(x->0)f(x)=0
因为f(x)在x=0点处存在二阶导数，即f(x)在x=0点处连续
所以f(0)=lim(x->0)f(x)=0
根据导数定义，f'(0)=lim(x->0)[f(x)-f(0)]/x=lim(x->0)f(x)/x=0
因为∑(1/n^2)收敛，且

lim(n->∞)|f(1/n)|/(1/n^2)
=lim(x->0)|f(x)|/x^2……令x=1/n
=|lim(x->0)f(x)/x^2|
=|lim(x->0)f'(x)/2x|
=(1/2)*|lim(x->0)[f'(x)-f'(0)]/x|
=(1/2)*|f''(0)|，是个常数
所以根据比较判别法的极限形式，∑|f(1/n)|收敛

追问

十一题有解答么🥺

追答

根据stolz定理，lim(n->∞) (1+1/2+...+1/n)/ln(n+1)
=lim(n->∞) [(1+1/2+...+1/(n+1))-(1+1/2+...+1/n)]/[ln(n+2)-ln(n+1)]
=lim(n->∞) [1/(n+1)]/[ln(1+1/(n+1))]
=lim(n->∞) 1/[ln(1+1/(n+1))^(n+1)]
=1/(lne)
=1
所以(1+1/2+...+1/n)与ln(n+1)是等价无穷小
原级数与∑ln(n+1)/(n+1)(n+2)同时收敛或同时发散
根据比值判别法
lim(n->∞) [ln(n+1)/(n+1)(n+2)]/[1/(n+1)^(3/2)]
=lim(n->∞) [ln(n+1)*√(n+1)]/(n+2)
=lim(n->∞) [1/√(n+1)+(1/2)*ln(n+1)/√(n+1)]
=lim(n->∞) [1+(1/2)*ln(n+1)]/√(n+1)
=lim(n->∞) [(1/2)*1/(n+1)]/[(1/2)*1/√(n+1)]
=lim(n->∞) 1/√(n+1)
=0
且∑1/(n+1)^(3/2)收敛
所以∑ln(n+1)/(n+1)(n+2)收敛
即原级数收敛

追问

谢谢谢谢谢

可以再请教一个问题么

太痛苦了😣我不会