Question

已知在矩形ABCD中,AD>AB,O为对角线的交点,过O作一直线分别交BC，AD于M,N.

Answer 1

（1）证明：如图（一），连AC、BD交于O，
∵AD∥BC，
∴∠DNM=∠BMN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵∠BOM=∠DON，
∴△DON≌△BOM，
∴ND=BM，
同理可证△AON≌△COM，
∴AN=MC，
∴AN+ND=BM+MC，
∵AB=CD，
∴S
梯形ABMN
=S
梯形CDNM
；
（2）解：如图（二），
∵当A点与C点重合时，△AMO≌△CMO，
∴MN⊥AC，这是MN应满足的条件；
（3）解：如图（二），
∵AB=CD=AD′，
∵∠BAM+∠MAN=90°，∠MAN+∠NAD′=90°，
∴∠BAM=∠NAD′，又∠B=∠D′=90°，
∴△ABM≌△AD′N，
∴△ABM和△AD′N的面积相等，MC=AM=AN，
∵重叠部分是△AMN，不重叠部分是△ABM和△AD′N．
∴
S△ABM+S△AD′N
S△AMN
=
1
2
，即
2×
1
2
AB•BM
1
2
AB•AN
=
1
2
，
故
BM
MC
=
1
4
．