Question

求解函数证明题

证明：若对于函数f(x)(-∞＜x＜+∞),有等式f(x+T）=k f(x)成立。其中k,T为正的常数，则f(x)=a 的x 次方与Ψ（x)的乘积，其中a＞0的常数，Ψ（x)是以T为周期的函数。

Answer 1

f(x) = a^xΨ（x)
f(x+T) = a^(x+T)Ψ（x+T)
kf(x) = ka^xΨ（x)
f(x+T) = kf(x)
=>a^(x+T)Ψ（x+T) = ka^xΨ（x)
a^TΨ（x+T) = kΨ（x)
Ψ（x+T) = ka^(-T)Ψ（x)

put k = a^T
Ψ（x+T) = Ψ（x)

Ψ（x)是以T为周期的函数

Answer 2

设 a = k^(1/T). Ψ（x)=f(x)/a^x.
只需验证 Ψ（x)是以T为周期的函数.
Ψ（x+T) = f(x+T)/a^(x+T) = k f(x)/(a^x*k)=f(x)/a^x=Ψ（x).
所以结论成立。