Question

证明:当x>0时,成立不等式x/1+x^2<arctanx<x

Answer 1

证明:当x>0时,成立不等式x/(1+x²)<arctanx<x
证明：设y=x/(1+x²)-arctanx，由于y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²-1/(1+x²)=(1-x²)/(1+x²)²-1/(1+x²)
=[(1-x²)-(1+x²)]/(1+x²)²=-2x²/(1+x²)<0，故y是减函数；当x=0时，y=0；当x>0时必有y<0；
即不等式x/(1+x²)<arctanx在x>0时成立；
再设u=arctanx-x，由于u'=1/(1+x²)-1=-x²/(1+x²)<0，故u也是减函数；当x=0时u=0；故当x>0时
必有u=arctanx-x<0，即不等式arctanx<x在x>0时成立。
于是命题得证。