Question

如果m,n是任意给定的正整数（m＞n），证明：m²+n²、2mn、m²-n²是勾股数

Answer 1

a=2mn
　　b=m^2-n^2
　　c=m^2+n^2
　　证：
　　假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）
　　如果a,b均奇数，则a^2
+
b^2
=
2(mod
4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k
　　等式化为4k^2
=
(c+b)(c-b)
　　显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）
　　作代换：M=(c+b)/2,
N=(c-b)/2，显然M，N为正整数
　　现在往证：(M,N)=1
　　如果存在质数p，使得p|M,p|N,
那么p|M+N(=c),
p|M-N(=b),
从而p|c,
p|b,
从而p|a，这与(a,b)=1矛盾
　　所以(M,N)=1得证。
　　依照算术基本定理，k^2
=
p1^a1
*
p2^a2
*
p3^a3
*
...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数
　　如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M,
pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾
　　所以对于所有质因子,pi^2|M,
pi^2|N，即M，N都是平方数。
　　设M
=
m^2,
N
=
n^2
　　从而有c+b
=
2m^2,
c-b
=
2n^2，解得c=m^2+n^2,
b=m^2-n^2,
从而a=2mn