Question

行列式的概念、性质和计算

Answer 1

第三节　行列式的性质
根据n阶行列式的定义，计算一个n阶行列式，要求n!项n个元素乘积的代数和.当阶数n比较大时，这样的计算量是很大的，并且用起来不方便，因此我们有必要讨论行列式的计算方法.
在这一节，先研究行列式的一些运算性质，然后利用其性质给出一种简便的计算方法.
设
把D的各行换成同序号的列，得到一个行列式，记成
，
称为行列式D的转置行列式.
显然，D与
互为转置行列式.
性质1　行列式与它的转置行列式的值相等.即
证　记
的转置行列式为
，
则有元素
由定义
由性质1知，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，行与列具有相同的性质.
性质2　互换行列式的其中两行（列），行列式改变符号.
证　设
是由行列式
交换I，j(I<j)两行得到的，那么有
当
时，
于是
最后一式中的行标排列
是自然排列，列标排列
是由
经一次对换得到的.设
的逆序数为s，则由对换性质有
，从而
用
表示行列工的第I行，用
表示第I列.交换行列式的第I行与第j行，记作
.类似地，交换第I列与第j列，记作
.
推论　如果行列式其中有两行（列）完全相同，那么行列式等于零.
证　交换相同的两行，由性质2得，
，于是
.
性质3　将行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以k，等于用数k乘此行列式.
证　记
，用数k乘以D的第I行，得
.
由定义
第
行元素乘以数k，记作
.类似地，第
列元素同乘以数k，记作
.
推论　行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
第
行（或列）提出公因子k，记作
由性质2和性质3的推论即得下列性质.
性质4　如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零.
性质5　如果行列式的某一行（列）元素都是两个数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即
性质5由读者自己证明.
性质6　把行列式某一行（列）的元素同乘以数k，加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，即
证　设原行列式为D，变形后得到的行列式为
，由性质5的性质4得，
用数k乘以第j行（或列）加到第
行（或列）上去，记作
由行列式的以上性质，可以把行列式化简，化为三角行列式的形式，从而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上（下）三角形法.下面举一些例子.
例1　计算
解
例2　证明
证　设此行列式为D，先把D化简，得
例3　计算n阶行列式
解　从行列式D的元素排列特点看，每一列n个元素的和都相等，今把第2，3，…，n行同时加到第1行，提出公因子
，然后各行减去第一行的b倍，有

Answer 2

第三节　行列式的性质
根据n阶行列式的定义，计算一个n阶行列式，要求n!项n个元素乘积的代数和.当阶数n比较大时，这样的计算量是很大的，并且用起来不方便，因此我们有必要讨论行列式的计算方法.
在这一节，先研究行列式的一些运算性质，然后利用其性质给出一种简便的计算方法.
设
把D的各行换成同序号的列，得到一个行列式，记成
，
称为行列式D的转置行列式.
显然，D与
互为转置行列式.
性质1　行列式与它的转置行列式的值相等.即
证　记
的转置行列式为
，
则有元素
由定义
由性质1知，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，行与列具有相同的性质.
性质2　互换行列式的其中两行（列），行列式改变符号.
证　设
是由行列式
交换I，j(I<j)两行得到的，那么有
当
时，
于是
最后一式中的行标排列
是自然排列，列标排列
是由
经一次对换得到的.设
的逆序数为s，则由对换性质有
，从而
用
表示行列工的第I行，用
表示第I列.交换行列式的第I行与第j行，记作
.类似地，交换第I列与第j列，记作
.
推论　如果行列式其中有两行（列）完全相同，那么行列式等于零.
证　交换相同的两行，由性质2得，
，于是
.
性质3　将行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以k，等于用数k乘此行列式.
证　记
，用数k乘以D的第I行，得
.
由定义
第
行元素乘以数k，记作
.类似地，第
列元素同乘以数k，记作
.
推论　行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
第
行（或列）提出公因子k，记作
由性质2和性质3的推论即得下列性质.
性质4　如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，那么行列式等于零.
性质5　如果行列式的某一行（列）元素都是两个数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即
性质5由读者自己证明.
性质6　把行列式某一行（列）的元素同乘以数k，加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变，即
证　设原行列式为D，变形后得到的行列式为
，由性质5的性质4得，
用数k乘以第j行（或列）加到第
行（或列）上去，记作
由行列式的以上性质，可以把行列式化简，化为三角行列式的形式，从而方便地求出行列式的值.此方法叫做化上（下）三角形法.下面举一些例子.
例1　计算
解
例2　证明
证　设此行列式为D，先把D化简，得
例3　计算n阶行列式
解　从行列式D的元素排列特点看，每一列n个元素的和都相等，今把第2，3，…，n行同时加到第1行，提出公因子
，然后各行减去第一行的b倍，有