Question

已知直线y=kx+1与圆x²+y²=4相交于A,B两点

Answer 1

解：连接AB，OP，相交于点M
则在平行四边形OABP中，M是AB、OP的公共中点
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)
∴x1+x2=2x0，y1+y2=2y0.
将y=kx+1代入x²+y²=4，整理有
(1+k²)x²+2kx-3=0，
所以，x1+x2=-2k/(1+k²)
∴x0=(x1+x2)/2=-k/(1+k²)
y0=(y1+y2)/2=(kx1+1+kx2+1)/2=1/(k²+1)
两式联立，消掉k，得
x0²+y0²=y0.
设P(x，y)，由于M为OP中点，则x0=x/2，y0=y/2，代入上式，整理有
x²+y²-2y=0.
而y0=1/(1+k²)，k²≥0，
∴0＜y0≤1，0＜y≤2.
故
点P的轨迹方程为
x²+y²-2y=0(0＜y≤2).

Answer 2

设a(x1,y1)
b(x2,y2)
p(x,y)
且将对角线的交点设为c.
则点a,b和点o,p都关于c对称.
即(x1+x2)/2=(x+0)/2--------
x=x1+x2
-------------1
(y1+y2)/2=(y+0)/2---------y=y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=k(x1+x2)+2--------2
联合y=kx+1和x^2+y^2=4
消去y可得(1+k^2)x^2+2kx-3=0
[又有2个交点]
∴△=b^2-4ac＞0(此式求得k的取值范围.在后面可根据此求得p点的定义域)
又x1+x2=-b/a=-2k/(1+k^2)------------3
将3带入1,2再消去k可得x和y的关系式.
即点p的轨迹方程.
(记得标明定义域,并不一定∈r)