Question

若函数f(x)=-1/2x^2+13/2在区间[a,b]上的值域为[2a,2b]，求a,b的值

Answer 1

将（a，2a）代入f(x)=-1/2x^2+13/2
有
2a
=-1/2a^2+13/2
解得：
a=-2±√17
又，当x=b时，与x=a时同解
，a<b
∴a=
-2
-
√17
,b=-2
+
√17

Answer 2

f(x)=-1/2x^2+13/2=-(x^2-13)/2
∴f(x)图像关于y轴对称，开口向下
∵函数f(x)=-1/2x^2+13/2在区间[a,b]上的值域为[2a,2b]
∴当a，b在同一单调区间时，则他们在单调递增区间，即a<b≤0
∴则有2a=-(a^2-13)/2
2b=-(b^2-13)/2
解之得：a=-2-√17
b=-2+√17>0
不合题意舍去
当a，b不在同一单调区间时，则他们不在单调递增区间，即a≤0<b
则有2a=-(a^2-13)/2
2b=-(b^2-13)/2
或者：2b=-(a^2-13)/2
2a=-(b^2-13)/2
解之得：a=-2-√17
b=-2+√17>0
合题意
或者：a=2-√33
b=2+√33
合题意
∴a，b值分别为：
a=-2-√17
b=-2+√17
a=2-√33
b=2+√33

Answer 3

函数开口向下，对称轴为x=0，由区间[a,b]知题目隐含条件b>a
所有可能的情况有：对称轴在区间[a,b]的左边、内部、右边。
1、对称轴在区间[a,b]的左边，即b>a>0时，
f(a)=2b且f(b)=2a，即
-1/2a^2+13/2=2b
-1/2b^2+13/2=2a
结合b>a>0，联立解方程组得
a=1，b=3
2、对称轴在区间[a,b]的内部，即a<0<b时，
函数在对称轴处取得最大值，即f(0)=2b，即13/2=2b，求得b=13/4。
函数在x=
a或x=
b处取得最小值，即f(a)=2a，或f(b)=2a所以
-1/2a^2+13/2=2a或-1/2b^2+13/2=2a，将b=13/4代入并结合a<0<b，求得
a=
-2-√17
3、对称轴在区间[a,b]的右边，即a<b<0时，
f(a)=2
a且f(b)=2
b，即
-1/2a^2+13/2=2a
-1/2b^2+13/2=2b
结合a<b<0，联立解方程组得原方程组无解。
综上所述，a、b的解有两组：
a=1，b=3或
a=
-2-√17，b=13/4

Answer 4

f(x)=-1/2x^2+13/2=-(x^2-13)/2
∴f(x)图像关于y轴对称，开口向下
∵函数f(x)=-1/2x^2+13/2在区间[a,b]上的值域为[2a,2b]
∴当a，b在同一单调区间时，则他们在单调递增区间，即a<b≤0
∴则有2a=-(a^2-13)/2
2b=-(b^2-13)/2
解之得：a=-2-√17
b=-2+√17>0
不合题意舍去
当a，b不在同一单调区间时，则他们不在单调递增区间，即a≤0<b
则有2a=-(a^2-13)/2
2b=-(b^2-13)/2
或者：2b=-(a^2-13)/2
2a=-(b^2-13)/2
解之得：a=-2-√17
b=-2+√17>0
合题意
或者：a=2-√33
b=2+√33
合题意
∴a，b值分别为：
a=-2-√17
b=-2+√17
a=2-√33
b=2+√33