Question

如图，点P是圆上的一个动点，弦AB＝根号3，PC是∠APB的平分线，∠BAC＝30°

(1)当∠PAC等于多少度时，四边形PACB有最大面积？最大面积是多少？
(2)当∠PAC等于多少度时，四边形PACB是梯形？说明你的理由.

Answer 1

（1）.
∵PC是∠APB的平分线
∴∠APC=∠CPB
∴弧AC=弧BC
∵∠BAC=30°
∴∠ABC=30°
∴∠ACB=120°
∴∠APB=60°

设∠PAB=α，则∠PBA=120°-α
由正弦定理得
2R=AB/sin60°=2
∴PB=2R·sinα=2sinα
∴S△PAB=1/2*AB*PB*sin(120°-α)=√3*sinα*sin(120°-α)=-√3*/2[(cos120°-cos(2α-120°)]=(√3/2)*cos(2α-120°)-√3/4
∴α=60°时，S△PAB面积最大，为3√3/4
∵S△PAB=1/2AB*BC*sin30°=1/2AB*2R*sin30°*sin30°=√3/4为常量，不因P的位置改变。

∴∠PAC=90°时，四边形PACB有最大面积，为√3
（如果没学过正弦定理，三角函数的和积互化公式，就直接说P在弧APB中点时，面积最大就行了，实在不妥就再来一步反证，证三角型PAB不是等边三角形时，面积总比等边时小，不会就在问我，给我发短消息）

（2）.
若四边形PACB是梯形，则PA‖BC，或PB‖AC

当PA‖BC时，
∠PAC=180°-∠ACB=60°

当PB‖AC时，
∠PBC=180°-∠ACB=60°
∵∠ACB=120°，∠APB=60°
∴∠PAC=120°