Question

已知椭圆x29+y24=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．...

已知椭圆x29+y24=1内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点． （1）若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程； （2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率为k，
由A、B在椭圆上，得x219+y214=1 ①x229+y224=1 ②
又∵P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4y1+y2=2．
由①-②得 (x1+x2)(x1-x2)9+(y1+y2)(y1-y2)4=0，
∴k=y1-y2x1-x2=-89．
∴直线AB的方程为y-1=-89（x-2），即 8x+9y-25=0；
（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时 满足：OP⊥AB．
∵kOP=12，∴kAB=-2，
∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即 2x+y-5=0．
联立方程组 2x+y-5=0x29+y24=1得 40x2-180x+189=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1+x2=92x1x2=18940，
∴|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=323．
∴S△AOB=12|OP||AB|=3415．