Question

已知三角形abc的重心g和内心o的连线og平行于bc,求证:ab+cg=2bc

Answer 1

三角形ABC中，G是重心，O是内心，且OG∥BC。求证:AB+AC=2BC
连接AG、AO且延长分别交BC于D、E，连接C，则AD为中线，AE、CO为角平分线．
∵OG∥BC，
∴
AO/OE=AG/GD=2．
在△CAE中，有
AC/CE=AO/OE=2，即AC=2CE，
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC．
或者，利用面积公式
连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作OE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则OE为内切圆I的半径，
设OE=r．
∵OG∥BC，
∴
OE/AH=OF/AF=DG/AD=1/3，即AH=3r．
∵
s△ABC=1/2BC•AH=1/2(AB+BC+CA)•r，故1/2BC•3r=12(AB+BC+CA)•r，
即2BC=AB+CA．