Question

已知函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0...

已知函数f（x）对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-1 ①判断f（x）奇偶性 ②求证：f（x）在R上是减函数． ③求f（x）在[-2，4]上的最大值，最小值．

Answer 1

解：①∵对于任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y），
∴令x=y=0，得f（0）=0，
再令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
②令x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x2）-f（x1）=f[（x2-x1）+x1]-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-f（x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在R上是减函数；
③由①②知，f（x）在是R上递减的奇函数，又f（1）=-1，
∴当x∈[-2，4]时，f（x）max=f（-2）=-f（2）=-[f（1）+f（1）]=-（-2）=2，
同理可求，当x∈[-2，4]时，f（x）min=f（4）=2f（2）=-4．