Question

2道解析几何 求详解

1 点M是抛物线y^2=x上的一点，动弦ME,MF分别交X轴于A、B两点，且MA=MB 若M为定点，证明直线EF的斜率为定值 2 设A、B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB 求A、B两点的横坐标和纵坐标之积 求详解！谢谢

Answer 1

证明：
M为定点
令M（a，b）
y^=x
E（x1。y1）。
F（x2，y2）
设ME所在直线斜率为k，∵动弦ME,MF分别交x轴于A，B两点，且MA=MB
∴ME所在直线斜率为-k
Lme：
y-b=k（a-x）
ky＾-y+b-ka=0
y1+b=1/2k
Lmf：
y-b=-k（a-x）
ky＾+y-b-ka=0
y2+b=-1/2k
y1+y2=-2b
kef=（y1-y2）/（x1-x2）=（y1-y2）（y1＾-y2＾）=1/（y1+y2）
=-1/2b
=定值
设A(x1,y1),B(x2,y2)求y1*y2和x1*x2的值
将A(x1,y1)代入y^2=2px(p>0)中，得x1=y1^2/(2p)
同理，x2=y2^2/(2p)
两式相乘得x1*x2=(y1*y2)^2/(4*p^2)
设OA斜率k1,
OB斜率k2
k1=y1/x1,k2=y2/x2
因为OA垂直于OB，所以k1*k2=-1
代入上式得k1*k2=(y1/x1)*(y2/x2)=-1
整理，得x1*x2=-y1*y2
将x1*x2=-y1*y2代入x1*x2=(y1*y2)^2/(4*p^2)中
(y1*y2)^2/(4*p^2)=-y1*y2
化简
y1*y2*(y1*y2+4*p^2)=0
因A、B不在原点,故x1,y1,
x2,y2都不为零,
所以y1*y2+4*p^2=0
y1*y2=-4*p^2,
x1*x2=4*p^2
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