Question

高数，数列收敛与有界与极限三者的关系

Answer 1

答：
1.
数列收敛，即：
存在
N∈N+，使得n>N时，对于任意ε（ε>0），恒有：|Xn-a|
< ε 成立，其中a就是该数列的极限
由此可知：数列收敛则数列极限存在，反之也是一样。
2.
数列有界，即：
若 存在M
>
0,使得一切自然数n,恒有：|Xn|
<
M
成立，则称数列xn有界
有界数列不一定存在极限，如：xn=sinnx，显然，该数列
|sinnx|≤1，但是该数列没有极限，因为该数列在（-1,1）之间，没有收敛
综合：由上可以看出，数列收敛等价于数列存在极限；而数列有界和数列极限没有必然关系；作为拓展，这里可以告诉你：
当数列存在单调性（在取值内只有单调递增或递减）且有界时，该数列收敛。
上述定理可以用夹逼定理证明的。