Question

已知△ABC中，点A、B的坐标分别为 (- 2 ，0)，B( 2 ，0) ，点C在x轴上方．（1）

已知△ABC中，点A、B的坐标分别为 (- 2 ，0)，B( 2 ，0) ，点C在x轴上方．（1）若点C坐标为 ( 2 ，1) ，求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；（2）过点P（m，0）作倾角为 3 4 π 的直线l交（1）中曲线于M、N两点，若点Q（1，0）恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．

Answer 1

（1）设椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
（a＞b＞0），则c=
2
，
∵C
(
2
，1)
，A
(-
2
，0)，B(
2
，0)
，
∴2a=|AC|+|BC|=4，b=
a
2
-
c
2
=
2
，
∴椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
（5分）
（2）直线l的方程为y=-（x-m），令M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），
将y=-（x-m）代入椭圆方程
x
2
4
+
y
2
2
=1
，消去y可得6x
2
-8mx+4m
2
-8=0
∴
x
1
+
x
2
=
4m
3
x
1
x
2
=
2
m
2
-4
3
，
若Q恰在以MN为直径的圆上，则
y
1
x
1
-1
×
y
2
x
2
-1
=-1
，
即m
2
+1-（m+1）（x
1
+x
2
）+2x
1
x
2
=0，
∴3m
2
-4m-5=0
解得
m=
2±
19
3
．