Question

如图,在平面直角坐标系中,矩形abcd的边ab长是方程x2-3x-1

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC= 2 3 ，直线y= 3 x-2 3 经过点C，交y轴于点G． （1）点C、D的坐标； （2）求顶点在直线y= 3 x-2 3 上且经过点C、D的抛物线的解析式； （3）将（2）中的抛物线沿直线y= 3 x-2 3 平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请明理由．

Answer 1

（1）令y=2 3 ，2 3 = 3 x-2 3 ，解得x=4，则OA=4-3=1， ∴C（4，2 3 ），D（1，2 3 ）； （2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为 1+4 2 = 5 2 ， 令x= 5 2 ，则y= 3 × 5 2 -2 3 = 3 2 ， ∴顶点坐标为（ 5 2 ， 3 2 ）， ∴设抛物线解析式为y=a（x- 5 2 ） 2 + 3 2 ，把点D（1，2 3 ）代入得，a= 2 3 3 ， ∴解析式为y= 2 3 3 （x- 5 2 ） 2 + 3 2 ； （3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m， 3 m-2 3 ）（m＞0） ∴可设解析式为y= 2 3 3 （x-m） 2 + 3 m-2 3 ， ①当FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m-2 3 ），代入解析式得： 2 3 3 m 2 + 3 m-2 3 =2m-2 3 ， 得m=0（舍去），m= 3 - 3 2 ， 此时所求的解析式为：y= 2 3 3 （x- 3 + 3 2 ） 2 +3- 7 3 2 ； ②当GE=EF时，FG=2 3 m，则F（0，2 3 m-2 3 ）， 代入解析式得： 2 3 3 m 2 + 3 m-2 3 =2 3 m-2 3 ，解得m=0（舍去），m= 3 2 ， 此时所求的解析式为：y= 2 3 3 （x- 3 2 ） 2 - 3 2 ； ③当FG=FE时，不存在．