Question

证明 若任意x y 属于r有 f x+y=fx+fy,且fx在0连续,则函数fx在r上连续

证明 若任意x y 属于R有 f x+y=fx+fy,且fx在0连续,则函数fx在R上连续,且
证明 若任意x y 属于R有 f x+y=fx+fy,且fx在0连续,则函数fx在R上连续,且fx=ax,其中a=f1是常数

Answer 1

令x=y=0得f(0）=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=-x,得0=f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x),①
令y=△x,则f(x+△x)=f(x)+f(△x),
f(x)在x=0处连续,
∴limf(△x)=f(0)=0,
∴limf(x+△x)=f(x),
∴f(x)在R上连续.②
f(1)=a,用数学归纳法得f(n)=na,n∈N+,
设m,n∈N+,m,n互质,仿上,ma=f(m/n*n)=nf(m/n),
∴f(m/n)=ma/n,
由①,f(-m/n)=-f(m/n)=-ma/n,
设p是任意实数,有理数列xn→p,由②,f(xn)=axn→f(p)=pa.
即f(x)=ax.