Question

已知AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,连接BC,AC,过点C作直线CD⊥AB

已知AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,连接BC,AC,过点C作直线CD⊥AB于D，E是AB上一点，直线CE交圆O于F，连接BF，与直线CD交于G。求证BC²=BG·BF

Answer 1

证明：延长CG交○O于点H
∵AB是直径，AB垂直CH
∴弧BC=弧BH
∴∠F=∠BCG
∵∠CBG=∠FBC
∴△CBG∽△FBC
∴CB/BC=BF/BC
∴BC²=BG·BF

Answer 2

∵AB是直径
∴AC⊥BC
∴∠A+∠ABC=90°
∵∠BCG+∠ABC=90°
∴∠A=∠BCG
又∵∠A=∠F
∴∠F=∠BCG
∵∠CBF是公共角
∴△CBF∽△GBC
∴BC/BG=BF/BC
即BC²=BG·BF