Question

微分方程xy'=y-xe^(y/x),y(1)=0的特解？

微分方程xy'=y-xe^(y/x),y(1)=0的特解

Answer 1

xy'+y=-xe^x
(xy)'=-xe^x
两边积分：xy=-∫xe^xdx=-xe^x+∫e^xdx=-xe^x+e^x+C
令x=1：0=-e+e+C,C=0
所以xy=-xe^x+e^x
显然x≠0
所以y=-e^x+e^x/x

Answer 2

令z=y/x, z' = (xy' -y)/x^2, xy' =x^2z' +y带人得到
x^2z' +y = y-xe^z
z' /e^z = -1/x

-e^(-z) = -lnx +C
y(1)=0=> z(1)=0代人得到
-e^(0) = -ln(1)+C => C=-1
所以e^(-z)=lnx +1
-z = ln(ln(x)+1)
-y/x = ln(ln(x)+1)
y =-xln(ln(x)+1)