Question

已知点O到△ABC两边AB\AC所在直线的距离相等，OB=OC。

（1）如图1，若点O在边BC上，试说明AB=AC。
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，试说明AB=AC。
（3）若点O在三角形ABC的外部，AB=AC成立吗？请在图3中画图并说明理由。

Answer 1

已知“点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等，且OB=OC.
（1）如图①，若点O在边BC上，求证：AB=AC；
设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
那么，OE=OF
又已知，OB=0C
那么，Rt△OBE≌△OCF
所以，∠B=∠C
所以，AB=AC

（2）如图②，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；
设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F
那么，OE=OF
已知，OB=0C
那么，Rt△OBE≌△OCF
所以，∠OBE=∠OCF
而，由OB=OC得到：∠OBC=∠OCB
所以：∠OBE+∠OBC=∠OCF+∠OCB
即：∠ABC=∠ACB
所以，AC=AB
3.
O在△ABC的外部时，不一定成立
三角形ABC,AB的中垂线和角A的平分线的交点就是O点

Answer 2

（1）证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，
由题意知，OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠B=∠C，
从而AB=AC；
（2）证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，
由题意知，OE=OF．
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC，
∴∠OBE=∠OCF，
又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线不重合时，AB≠AC．

Answer 3

（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．

（2）解：成立．
证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，
则∠BEO=∠CFO=90°，
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）解：不一定成立，如右图．

Answer 4

（1）证明：∵OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BEO=∠CFO=90°．
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
（2）解：成立．
证明：过O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E、F，
则∠BEO=∠CFO=90°，
∵OB=OC，OE=OF，
∴Rt△OBE≌Rt△OCF．
∴∠EBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．
（3）解：不一定成立