Question

高一数学，快

fx=2^x,x∈R
1,对于任意实数x1，x2，比较(fx1+fx2)/2与f((x1+x2)/2)的大小
2，若不等式f(4x+a)>4对任意x∈[1,4]成立，求实数a的取值范围
3，不等式f(4x+a)>4解集为M，P=[1,4],若M∩P不等于空集，求实数a的取值范围

Answer 1

1.此题若是小题最好画图解决，即数形结合。由题可知f(x)为反比例函数，且单调递增。在该图像上任取两点，连接该两点，去这条线段的中点，过这点做垂直于x轴的垂线交原反比例图像于一点，则(fx1+fx2)/2表示的是中点，f((x1+x2)/2)表示的是与反比例图像的交点，所以(fx1+fx2)/2>=f((x1+x2)/2)(当且仅当x1=x2时取等)
2. f(4x+a)>4，即2^(4x+a)>4=2^2，所以4x+a>2
因为不等式对任意x∈[1,4]成立，且4x+a单调递增
所以只要最小值符合即可，即把x=1代入，得：4+a>2,
解得a>-2
3. 不等式的解集为:x>(2-a)/4,即M={x|x>(2-a)/4}
因为M∩P不等于空集，则(2-a)/4<4
解得a＞-14

Answer 2

(一）f(x)=2^x,x∈R,f(m)=2^m,f(n)=2^n,f[(m+n)/2]=2^[(m+n)/2]=√2^(m+n).∴由均值不等式可得：f(m)+f(n)=2^m+2^n≥2√[2^(m+n)]=2f[(m+n)/2]∴[f(m)+f(n)]/2≥f[(m+n)/2],等号仅当m=n时取得。（二）易知，函数f(x)=2^x在R上递增，∴f(4x+a)＞4=f(2).<===>4x+a＞2.<===>a＞2-4x.又由题设知，当x∈[1,4]时，f(4x+a)＞4恒成立，∴当x=1时也成立，即a＞-2.(三）由前可知，M=((2-a)/4,+∞).∴由题设可得：(2-a)/4＜4.===>a＞-12.

Answer 3

1. ∵对于任意实数x, 均有f(x)=2^x>0
∴由均值不等式(a+b)/2≥√(ab)可得：
(fx1+fx2)/2
=[2^(x1)+2^(x2)]/2
≥√[2^(x1)*2^(x2)]
=√[2^(x1+x2)]
=2^[(x1+x2)/2]
=f((x1+x2)/2)
故(fx1+fx2)/2≥f((x1+x2)/2)，当x1=x2时取等号

2. f(4x+a)>4
即2^(4x+a)>4=2^2
∴4x+a>2
x>(2-a)/4
∵不等式对任意x∈[1,4]成立
∴(2-a)/4<1
解得a>-2

3. 由2知，不等式的解集为
x>(2-a)/4
即M={x|x>(2-a)/4}
若M∩P=Φ
则(2-a)/4≥4
解得a≤-14
∴要M∩P≠Φ，则a＞-14