Question

函数收敛的定义是什么?

Answer 1

函数收敛是由对函数在某点收敛定义引申出来的函数在某点收敛，是指当自变量趋向这一点时，其函数值的极限就等于函数在该点的值若函数在定义域的每一点都收敛，则通常称函数是收敛的有界和收敛不一样。

函数收敛则：

1、在x0处收敛，则必存在x0的一个去心领域，函数在这个去心领域内有界。

2、当x趋于无穷时收敛，以正无穷为例，则必存在M，使函数在［M,+∞）上有界。

一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。例如：y=x+6在［1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如（－π／2，π／2)内则无界。

性质：

无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小。

收敛和收敛性这两个词（在外语中通常是同一个词）有时泛指函数或数列是否有极限的性质，或者按哪一种意义（什么极限过程）有极限。

在这个意义下，数学分析中所讨论的收敛性的不同意义（不同类型的极限过程）大致有：对数列（点列）只讨论当其项序号趋于无穷的收敛性。

对一元和多元函数最基本的有自变量趋于定值（定点）的和自变量趋于无穷的这两类收敛性；对多元函数还有沿特殊路径的和累次极限意义下的收敛性；对函数列（级数）有逐点收敛和一致收敛。