Question

函数f(x)=x^2+(3-a)x+a，x小于1时，f（x）大于等于0恒成立，求a取值范围

Answer 1

建议你这样试试看：

1. 函数f的二次项系数=1＞0，说明函数f的图象开口向上，当函数图象在x上方或函数的顶点在x轴上时，f(x)≥0恒成立，自然满足x＜1时，f(x)≥0恒成立，此时判别式△=(3-a)^2-4×1×a≤0，解得1≤a≤9；

2. 函数f的对称轴x=-(3-a)/(2×1)=(a-3)/2≥1，解得a≥5；此时要满足x＜1时，f(x)≥0恒成立，只需f(1)≥0即可，而f(1)=1^2+(3-a)×1+a=1+3-a+a=4，为什么会这样？因为对称轴在x=1的右侧，当x从-无穷到1时，函数是单调递减函数，只要保证f(1)≥0即可；

3. 综上所述，a的取值范围是[1，+无穷)。
   

这样做的好处：思路清晰，便于逻辑推理。

注意事项：①判别式△≤0，函数图象在x上方或函数的顶点在x轴上时，f(x)≥0恒成立；

②f(1)=1^2+(3-a)×1+a=1+3-a+a=4，函数恒过(1，4)点。

解法二：分离变量法。

Answer 2

f(x)=x²+(3-a)x+a为开口向上的二次函数

若要x<1时，f(x)≥0恒成立，有以下两种情况：

1.  f(x)与x轴无交点或仅有一个交点，即f(x)=0的Δ≤0，那么f(x)≥0对所有x都成立

2. f(x)与x轴相交于x₁和x₂两点，为使x<1时，f(x)≥0恒成立，需满足x₁≥1

对于第一种情况，二次方程x+(3-a)x+a=0的Δ=(3-a)²-4a=a²-10a+9=(a-1)(a-9)

若要Δ≤0，则1≤a≤9；

对于第二种情况，首先f(x)=0有两个实根需满足Δ>0，即a>9或a<1

然后若要x₁≥1，画图可知需满足f(1)≥0且对称轴-(3-a)/2>1

又f(1)=1+3-a+a=4>0，-(3-a)/2>1可得a>5，结合a>9或a<1可得a>9

综上，a的取值范围为[1,9]∪(9,+∞)=[1,+∞)，即a≥1