Question

如图 在三角形ABC中,点D、E在边BC上,<CAE=<B,E是CD的中点,且AD平分<BAE.

1.当<BAC=90°时，BD=AC，请你说明理由。
2..当<BAC≠90°时，是否依然有BD=AC，并说明理由。

Answer 1

1.当∠BAC=90º时,∵∠CAE=∠B,∠CDA=∠B+∠DAB
∵AD平分∠BAE==>∠EAD=∠BAD
∴∠CAE+∠EAD=∠DAB+∠B
∴∠CAD=∠CDA
∴CA=CD
∵∠CAE+∠C=∠B＋∠C＝90º
∴AE⊥CB ,E是CD的中点
∴CA=AD
∴△ACD是等边三角形
∴∠DAB=∠DBA=30º
∴AC=AD=BD
2)当∠CAB≠90º时，仍有∠CAD=∠CDA
∴AC=CD
∵∠CAE=∠B
∴△CAE∽△CBA
∴AC/BC=CE/AC 又有CE=CD/2=AC/2
∴BC=2*AC
∴BD=BC-CD=BC-AC=2*AC-AC=AC
∴BD=AC

Answer 2

1、<BAC=90，<B+<C=90，有<CAE+<C=90，AE垂直CD，又D为中点，三线合一，AC=AD，<B=<BAD=<DAE=<CAE，AD=DB，所以BD=AC
2、依然成立，
由条件有，<CAD=<CDA，AC=2CE=2DE
<C为公共角，<B=<CAE，有三角形ABC和ACE相似，AC/BC=CE/AC=1/2
有BC=2AC=2CD，得BD=AC

Answer 3

延长AE至点F,使得AE=EF.连结CF.由CE=ED,AE=EF知，△ADE≌△FCE(S,A,S).故得DA=CF,<AFC=<FAD=<BAD.又<B=<CAE，故△ACF≌△BDA(A,A,S),故BD=AC.这即是说，当角BAC不等于90°时，上式仍成立。